Uma Bi-implicação é representada pelo conectivo lógico "se, somente se"(↔), assumindo o valor verdadeiro
apenas se ambas as proposições da fórmula forem satisfeitas. Caso as proposições sejem distintas o conectivo
retornara falso, podendo
ser verdadeiro se, somente se os conectivos forem iguais, verdadeiro com verdadeiro ou falso com falso
{ 1 } . Para
entender melhor, veja os exemplos a seguir:
Exemplos em linguagem natural:
Fórmula (H) = (P ↔ Q)
P = A taça ira quebrar. Q = Cair da mesa. H = A taça ira
quebrar se, e somente se, cair da mesa.
P = O número natural é divisível por cinco. Q = O último algarismo do número natural é zero ou
cinco. H = O número natural é divisível por 5 se, e somente se, o seu último algarismo é zero ou
cinco.
P = Renato é um genio. Q = Renato aprovar os alunos. H = Renato é um genio se, e somente
se, Renato aprovar os alunos.
Tabela Verdade
Negar Proposição P
Negar Proposição Q
P
Q
H
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false
true
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true
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true
false
false
true
true
true
Equivalência Semântica
Podemos dizer que duas fórmulas são equivalentes semanticamente, se o resultado de ambas as tabelas-verdade
forem iguais. A seguir temos alguns exemplos de algumas fórmulas que equivalem semanticamente à conjunção entre
"P" e "Q" (P ↔ Q).
Exemplos
(P -> Q) ^ (Q -> P)
(P -> Q)
(Q -> P)
H
true
true
true
true
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false
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true
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true
true
true
Como se percebe, P implica em Q, e Q implica em P, formando a bi-implicação
(P ^ Q) v (¬P ^ ¬Q)
(P ^ Q)
(¬P ^ ¬Q)
H
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true
true
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false
false
false
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true
Nos exemplos acima podemos ver que os resultados obtidos em "H", são idênticos ao resultado da
fórmula
(P ↔ Q) sendo falso na segunda e terceira interpretação e verdadeiro na primeira e quarta.